Tytułowe twierdzenie matematyczne jest moim zdaniem jednym z najwspanialszych osiągnięć umysłowych ludzkości. Oto treść tego twierdzenia (a właściwie dwóch twierdzeń) przepisana z encyklopedii multimedialnej Fogra:

Gödla twierdzenia:
I twierdzenie Gödla:
Jeżeli S jest zawierającym w sobie arytmetykę liczb naturalnych i S jest niesprzeczny (spójny), to S jest niezupełny, tzn. istnieją zdania w S, których prawdziwości nie da się udowodnić na podstawie przyjętych aksjomatów.

II twierdzenie Gödla:
Jeżeli S jest niesprzeczny, to niesprzeczność S jest niedowiedlna w S.

Teraz o znaczeniu tych praw:
Problemem interpretacyjnym jest określenie "zawierającym arytmetykę liczb naturalnych", bo przeciętnemu zjadaczowi chleba liczby naturalne mało kojarzą się z logiką ogólnie. Jednak są oczywiste odniesienia liczb naturalnych i języka używanego przez ludzi - np. wszystkie słowa lub wszystkie twierdzenia języka można ponumerować liczbami naturalnymi. Wtedy każdy liczby staną się odpowiednikami słów, twierdzeń itp. Można też się pokusić o takie formułowanie zdań (a przynajmniej ich części), aby były one zgodne z arytmetyką liczba naturalnych. I co się wtedy okaże?

Oparty na tej zasadzie system wiedzy można rozszerzać w nieskończoność!

To jest prawda matematyczna! - nie ma odwołania - nie ma już wątpliwości, czy nasza teoria jest już pełna czy nie. Wiemy na pewno, że teoria jest niepełna, bo Pan Gödel udowodnił, że do najlepszej teorii da się dopisać twierdzenie, któremu nie da się zaprzeczyć powołując się na istniejące prawa. A jeśli tak, to owe twierdzenie staje się początkiem dwóch nowych sprzecznych ze sobą meta-teorii - jednej zakładającej, że twierdzenie jest prawdziwe i drugiej zaprzeczającej tej tezie. Ale obie te meta-teorie są "dobre" w tym znaczeniu, że nie podważają teorii pierwotnej.

W ten sposób uzyskaliśmy mechanizm pozwalający rozszerzać naszą wiedzę teoretyczną do nieskończoności.
I choć odnosi się tylko do klasy teorii opartych o arytmetykę liczb naturalnych, to i tak jest to całkiem spora klasa. A nie wiadomo, czy nie jest prawdziwe jakieś uogólnione twierdzenie rozszerzające powyższe prawa na teorie oparte o inne arytmetyki.

Przykłady potwierdzające twierdzenia Gödla matematycy mogą mnożyć. Najbardziej chyba sztandarowym byłby fakt wynalezienia geometrii nieeuklidesowych:
Początek był taki: Euklides nie potrafił udowodnić (posługując się innymi aksjomatami geometrii), że przez punkt da się przeprowadzić tylko jedną prostą równoległą do danej. Dlatego stworzył nowy aksjomat, który to właśnie postulował. Postulat ten jest niesprzeczny z resztą pewników. Jednak okazało się, że postulat przeciwny - np. że przez punkt nie da się przeprowadzić żadnej prostej równoległej do danej, lub że można ich przeprowadzić więcej niż jedną - też jest niesprzeczny z pierwotną teorią. Dlatego można tworzyć sobie niezależne geometrie euklidesowe i nieeuklidesowe, a z matematycznego punktu widzenia, żadna nie jest lepsza. Możemy sobie jedynie wybrać jako nasze "widzimisię".

Czy da się z twierdzeń Gödla wyprowadzić jakieś inne wnioski?
Ja osobiście uważam, że być może na końcu odpowiedniej konstrukcji logicznej znalazłoby się udowodnienie "wolnej woli", lub przynajmniej pokazanie, że prawda jaka taka wymaga wyboru - być może osobowego rozstrzygnięcia (Bóg???).

Inny, chyba dość przerażający wniosek, stanowi uświadomienie sobie nieskończoności przestrzeni prawdy. O ile materię, ze wszystkimi cząstkami, atomami, kwantami można by uznać za twór ogromny, ale może przynajmniej skończony - tzn. może np. tych materialnych obiektów jest tyle co liczba "coś do potęgi bilion bilionów...", to jednak nie istnieje żadna liczba mówiąca nam jak wiele jest słusznych teorii - jest ich na pewno nieskończenie wiele. W tym kontekście marzenia niektórych, że prawda zaprowadzi porządek w tym ogromnym bałaganie obiektów świata materialnego, są piramidalną mrzonką - bo prawd o samej materii jest nieskończenie razy więcej niż samych obiektów materialnych.

Bałagan materii jest niczym wobec bałaganu idei.