Prędkość ruchu satelity na orbicie kołowej

Zastanówmy się teraz nad pytaniem:
Jakiej prędkości ciała potrzeba, aby ciało utrzymywało się na orbicie kołowej w odległości R od środka planety?

 

Odpowiedź na to pytanie będzie wymagała zastosowania wzoru na siłę grawitacji.
Aby mieć jasność co jest tu dane, a czego szukamy, założymy że:
- W odległości R od środka planety krąży ciało o masie m
- Prędkość tego ciała jest skierowana prostopadle w stosunku do promienia i wynosi v
- Masę planety oznaczymy przez M.

Wyjaśnienia

Dla rozwiązania naszego problemu musimy uświadomić sobie jaką rolę pełni grawitacja w stosunku do ruchu ciała.
- Odpowiedź na to pytanie nie jest trudna: grawitacja, ciągnąc ciało w kierunku środka planety, zakrzywia ten ruch nadając mu kształt okręgu.

 

Jak wielka jest wartość siły zakrzywiającej?

Ale żeby to zakrzywienie miało dokładnie kształt okręgu, wartość siły grawitacji musi zrównać się z siłą dośrodkową potrzebną do utrzymania ciała na orbicie:

Fgraw = Fdośr

A ponieważ siła grawitacji dana jest znanym wzorem  (prawo grawitacji powszechnej Newtona):

Podstawimy tu oznaczenia wartości wg ustaleń z początku rozdziału:

    
(m masa ciała orbitującego, M – masa planety, R – promień orbity)

Skorzystamy także ze wzoru na siłę dośrodkową – patrz Siła dośrodkowatablice wzorów (v - prędkość),

   

więc, po podstawieniu obu wartości sił do równania Fgraw = Fdośr, otrzymamy

 

A stąd po pomnożeniu obu stron przez R/m, po obu stronach skróci się R i m, i dostaniemy:

 

Teraz zamienimy strony równania i spierwiastkujemy je:

 

Powyższy wzór pozwala na obliczenie prędkości jaka musi mieć ciało, aby orbitowało wokół planety dokładnie po orbicie kołowej o promieniu R.

Zapiszemy go jeszcze raz dokładnie określając o jakie wielkości chodzi:

 

I to jest właśnie nasz szukany wzór na prędkość ruchu satelity na orbicie kołowej. Wzór ten służy do obliczania tzw. pierwszej prędkości kosmicznej